Trường Z2 - Sai ở đâu?

Trong lúc giải toán, vô tình thấy cái này, anh em thảo luận thêm nha

Xét trên trường Z2, giải phương trình sau:

x^2+x+1=0 (1)
<=> (x+1)^2=-x (do char(Z2)=2 -> (x+y)^2=x^2+y^2)
<=> x^2+2x+1=-x
<=>x^2+3x+1=0 (2)
<=> (2)-(1)=0
<=>2x=0 <=> 0x=0,với mọi x thuộc Z2 (Do 2=0 trong Z2)

Vậy nghiệm của bài toán là nguyên cả trường Z2.

Nhưng thực tế đa thức x^2+x+1 bất khả quy trong Z2 nên (1) vô nghiệm trong Z2. Vậy sai ở đâu trong cách giải trên?

Nhân tiện xin hỏi là có cách nào để chứng minh đa thức x^2+x+1 bất khả quy trong Z2 không?

các mà trừ hai phương trình của Thi vậy là sai rồi, 3x = x trong Z2 phương trình (1) VÀ (2) thật chất như nhau nên theo tui nghĩ là không trừ được. Còn kiểm tra tính bkq thì thử x= Ongang và 1ngang thử nếu vô nghiệm thì nó sẽ bkq trong Z2 vì đây là đa thức bậc hai vô nghiệm trong Z2...

thật chất ko phải là trừ Quý, mà là do x^2+x+1=0 nên thêm vào vế trái của (2) thôi, đều này vẫn được.

cái CM bất khả quy hình như là thế vào thôi mà phải ko thi??

Uhm, chỉ có cách đó, hix, hy vọng khi thi ổng ko ác tới độ cho trường Z11 hay Z13 gì đó

Thi ơi!
Q nghĩ là có vấn đề ở những dấu tương đương đó Thi.
Theo chiều thuận thì ok rồi. Nhưng nếu đảo lại thì sẽ có vấn đề đó Thi. Cụ thể là từ (2)-(1)=0 thì chúng ta không thể nào suy ra được (1) cả.
Với lại nếu điều chứng minh trên là đúng thì bất kỳ một đa thức nào trong Z2 cũng đều là bkq cả chứ không riêng gì đa thức trong chứng minh.
Còn cách chứng minh đa thức bkq thì nhiều nhưng ăn tiền nhất trong mấy cái trường Zn vẫn là phương pháp thế đối với n nhỏ.