Ôn thi Đại số

Trong quá trình ôn luyện cho kỳ thi trước mắt sẽ có rất nhiều bài tập mà nhiều khi mình giải không ra mà bạn khác giải ra, hoặc ngược lại nhưng không ai nói với ai, để đến lúc thi thì "kẻ khóc người cười". Vì vậy thay mặt BQT diễn đàn mình xin lập topic này với mong muốn như sau:
1) Bạn nào có bài chưa giải được thì hãy post đề lên cho anh em biết để có thể hỗ trợ.
2) Ai làm được bài nào mà thầy chưa sửa thì hãy post đề lên để mọi người biết mà hỏi cách làm.
3) Dựa trên tinh thần "chia sẻ, cởi mở và giúp đỡ" lẫn nhau là chính nên mong mọi người hãy tích cực.
4) Các bạn nếu cần thì để lại số điện thoại, mail, yahoo ... hay bất cứ thứ gì có thể làm tin... liên lạc để mọi người share cho dễ nha!

18.1 (BXH)
a) Cmr: f(x) = x^2 + 1 bkq trên F11
Để c/m điều trên ta cần c/m f(x) VN trong F11.
Giả sử nó có nghiệm a nào đó trong F11 thì a^2 + 1 = 0 (1)
Hơn nữa, do F11 là trường nên từ (1) suy ra a khác 0.
Suy ra a thuộc F11*
Trong nhóm (F11*,.), ta có:
a^10 = 1 (do cấp của F11* là 10)
-> (a^2 - 1) (a^8 + a^6 + a^4 + a^2 +1) = 0
-> (a^2 - 1) (a^6(a^2 + 1) + a^2(a^2 +1) +1) = 0
-> a^2 - 1 = 0
-> a^2 = 1 (2)
Từ (1) và (2), ta có 2.1=0
-> charF11 = 2
Suy ra F11 chứa 1 trường con đẳng cấu với Z2. Khi đó F11 sẽ là 1 KGVT hữu hạn chiều trên Z2.
Giả sử [F11:Z2] = m thì số phần tử của F11 lúc này sẽ là 2^m = 11 (!)
Vậy x^2 + 1 VN trên F11
-> x^2 + 1 bkq trên F11

b) Cmr: số phần tử của F11[x]/< x^2+1 > là 121
F11[x]/ = {ax + b + < x^2+1 > : a,b thuộc F11}
Theo nguyên lý đếm ta được số phần tử của F11[x]/< x^2+1 > là 121.

18.5 (BXH)
Cmr: Trong mọi trường hữu hạn khác F2, tổng tất cả các phần tử của nó bằng 0.
Giả sử trường F đó có q>2 phần tử.
Theo như định lý 9 ta đã có phần c/m trường F trùng với tập nghiệm của pt
f(x) = x^q - x = x^q + 0.(x^q-1) + ... + (-1).x + 0
Theo định lý Viet của ĐSĐC thì tổng tất cả các nghiệm của nó (hay sigma1) sẽ bằng 0 (do q>2)

18.3
CMR mỗi 1 phần tử của trường hữu hạn Fq đặc trưng p có duy nhất 1 căn bậc p trong Fq.
Lấy b bất kì thuộc Fq (q=p^n,n>=1,p nguyên tố)
*Tồn tại:
Do b thuộc Fq =>b^(p^(n-1)) thuộc Fq (do Fq là trường)
=>(b^(p^(n-1)))^p=b^(p^n)=b^q=b
Chú ý: cái b^q=b khỏi nói nha bà con.
*Duy nhất:
Gs x,y thuộc Fq: (x^p=b)và(y^p=b)
=>x=x^(p^n)=b^(p^(n-1))=y^(p^n)=y

Lưu ý: do có convert kí hiệu và kí tự từ vở sang nên có thể sai sót đánh máy, có gì pm!

Bài 18.3 cái đề nó kêu mình chứng minh là nếu lấy 1 phần tử bất kì thuộc Fq thì khi lấy căn bậc p của phần tử đó chỉ có và duy nhất 1 kết quả.

Bài 18.4, sorry bà con vì tui đã nhầm chỗ DQ nói, sẽ update sau, thân! (Hix, khốn khổ, học tới đại học òi mà còn sai như thế ++)

Bài 18.7 (gợi ý, ko có đủ thời gian trình bày lời giải, khuya quá òi): đọc cuối trang 167 và đầu trang 168 sách BXH. Hoàn toàn tương tự, chứng minh được F=F(alpha), F(alpha) đẳng cấu với F[x]/

Bài 18.8. Dùng công thức "trùng phương" mà thầy đã cho ghi:
x^4+px^2+q bất khả quy trong F khi và chỉ khi 2 điều sau đây cùng thỏa:
(i) delta1=p^2-4q không thuộc F^2
(ii) delta2=2sqrt(q)-p không thuộc F^2
Chú ý:
-F^2 là dạng bình phương của 1 phần tử thuộc F
-sqrt(q) là căn phức
-Của thầy ghi là Q nhưng do thầy nói nó đúng trong cả trường hợp F bất kì nên áp dụng được
- Đang hỏi mail thầy Hải về cái vụ "2 trường đẳng cấu, đa thức bkq trong trường này thì có bkq trong trường kia không?", nếu có thì sẽ nhanh hơn.

Bài 18.10, thầy đã làm trên Z3, còn F3 thì chưa biết!

Bài 18.11, thầy đã sửa ở lớp, đọc còn...chưa hiểu lắm

Bài 18.14. Xem ví dụ 19 trang 168 sách BXH, và lưu ý phân tích sau
a) x^(2^3)-x=...như trong ví dụ 19....
b) x^(3^2)-x=(x^2+1)(x^+x+2)(x^2+2x+2)(x+1)(x+2)x
c) x^(2^4)-x=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4+x+1)(x^4+x^3+1)(x^2+x+1)(x+1)x

Ghi chú: để tìm được dạng phân tích trên, ngay cả trong sách BXH còn nói làm tay khó, nên Thi đã dùng Maple để làm, công thức như sau:
[>Factor(x^(p^n)-x)mod p;

18.8 Cái vụ hai trường đẳng cấu, đa thức bkq trong trường này thì bkq trong trường kia hình như thầy Q có nói rồi đó Thi.
Trong phần sự duy nhất của trường phân rã --> một số ký hiệu --> ...
Thi ơi! Thi làm bài giải chi tiết bài nào Thi giải được kg? Để dễ coi hơn.

Uhm, cũng mới biết cái vụ bất khả quy đó, hehe, đọc lí thuyết mà chưa vận dụng được. Còn mấy bài đó thì để sau khi thi độ đo tính tiếp nha Q:d. Mà chắc ok hết! Có gì hỏi thầy, hô hô.

Uhm! Sao Q nghi nó ra vụ c/m nhóm xyclic quá! Có gì ưu tiên hỏi thầy trước cái đó mới được.

bạn Thi post nhiều bài cũng hay!!! mà hơi bị khó hiểu....
DQ: hỏi đi Quang, có gì phone cho bạn bè. ôn ko lo ôn ở đó mà đoán đề bạn

Nó ôn nhiều nên mới đoán đề đc ấy chứ!

Hic! Thầy mà ra Trường hữu hạn là tiêu luôn
Mong thầy thương tình cho đề dễ dễ.

Tình hình là đề độ đo phân biệt địa phương rất rõ ràng, may mà ko khó, hy vọng trường cũng thế...

Do ko kho nen toan sai tao lao. Nham de so!!! Rut kinh nghiem

Hehehe tội Ben sai câu Tích phân, còn tôi cũng chặn sai mất câu 3 rồi. Mình dở thiệt, ngồi gần vậy mà ko chịu dò bài thì đâu có sai

Ai cũng thế mà

đang bàn đại số , đừng lôi độ đo vô, nhắc lại quá khứ " mất hứng" , hix

Topic này chắc chuẩn bị đóng cửa rồi quá!

đề nghị lập topic mới " re đại số " và " hậu độ đo" + " hoang cảnh sau khi xog phương pháp "

Xét f(x)= x^5 -3 thuộc Q[x]
Trường nghiệm của f(x) trên Q là Q( i.sqrt(10+2sqrt(5)), sqrt(5), căn_bậc_5(3) ) phải ko?
(Vì khi tính căn_bậc_5(3) thì xuất hiện sin(2pi/5) = sqrt(10+2sqrt(5))/4)

Theo mình thì Trường nghiệm của f(x) trên Q là Q( i.sqrt(10+2sqrt(5)), căn_bậc_5(3) )
Vì sqrt(5) có thể biểu diễn qua i.sqrt(10+2sqrt(5)),
nên có thể bỏ sqrt(5)
Nhưng mình gặp rắc rối khi tính [Q(i.sqrt(10+2sqrt(5)):căn_bậc_5(3)]. Giúp với !!!

Mình còn gặp 2 vấn đề sau:
1) Nếu alpha = a+bi thuộc C. Thì Alpha ngang = a-bi có thuộc Q(alpha) ko ???

2) alpha = cos(pi/12)+ i.sin(pi/12) thì da thuc toi tieu có bâc 8.
vì Q(alpha) = Q(căn 2, căn 6, i). Nên [Q(alpha:Q] = 8
* Mà với Beta = sin(pi/12) -i.cos(pi/12).
Q(beta) cũng = Q(căn 2, căn 6, i).Nên [Q(beta:Q] = 8
Nhưng beta^8 = sqrt(3/2) + (1/2).i không thuộc Q[x] thì làm sao là da thức tối tiểu dc. Sai ở đâu vậy

***ý đầu: (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 thuộc Q(alpha) suy ra a-bi=(a^2-b^2)/(a+bi) thuộc Q(alpha)

***ý sau: beta^8 nó đâu là đa thức cần? Bạn đã tìm ra đa thức cần chưa? nếu ra thì ra là beta^8-beta^4+1. Cách tìm là biến đổi beta thành beta=cos(-5pi/12)+isin(-5pi/12), rùi sau đó lấy beta^12 lên òi làm tiếp như bình thường là ra.

*Ý sau thì mình sai rồi , Tks nha!!!
* Còn ý đầu nếu áp dụng vào bài trên thì a^2+b^2 = 1 thuộc Q(alpha) là đúng rồi.
Nhưng ý mình muốn hòi liệu a^2+b^2 có luôn thuộc Q(alpha) ko?? (Ở đây a, b chỉ thuộc R thôi)
* Còn bài của Quân có ai giải hoàn tất chưa chỉ mình lun đi. Cũng rối ở phần tìm bậc mở rộng